Espacios Generados y Dimensión

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# Espacios Generados y Dimensión
]
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## Sesión 02
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-05
]

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# Objetivos de la Sesión

* Introducir las combinaciones lineales. <br/><br/>
* Diferenciar entre dependencia e independencia lineal. <br/><br/>
* Introducir los espacios generados. <br/><br/>
* Definir el concepto de dimensión. <br/><br/>

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# Combinaciones Lineales

> __Definición:__ Sea `$v\in V$` un vector. Si `$u_1,\cdots,u_n\in V$` son vectores, decimos que `$v$` es _combinación lineal_ de `$u_1,\cdots,u_n$` si existen escalares `$a_1,\cdots,a_n$` tales que `$$v=a_1u_1+\cdots+a_nu_n.$$` <br/><br/>Estos escalares `$a_1,\cdots,a_n$` se llaman _coeficientes_ de la combinación lineal.

##### Ejemplo 1
En `$\mathbb{R}^2,$` el vector `$(3,4)$` tiene las siguientes combinaciones lineales:
1. `$(3,4)=1(3,0)+4(0,1)$`
1. `$(3,4)=2(1,2)+1(1,0)$`
1. `$(3,4)=1(1,2)+2(1,1)$`

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## Encontrar una C.L.

> Sea `$v=(1,1,1)$` y `$S=\{(1,2,3),(0,1,2),(-1,0,1)\}.$` Encuentre una c.l. de `$v$` en termino de los vectores en `$S.$` <br/><br/>

`$$v=a_1(1,2,3)+a_2(0,1,2)+a_3(-1,0,1)$$` <br/>
`$$v=(a_1-a_3,2a_1+a_2,3a_1+2a_2+a_3)$$` <br/>
Usando Gauss-Jordan en la matriz `$$\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & 1 \\ 2& 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1\end{array}\right)$$` obtenemos que `$a_1=2, \,a_2=-3,$` y `$a_3=1.$` Por lo tanto, `$$v=2(1,2,3)-3(0,1,2)+(-1,0,1).$$`

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## Conjunto Generador

> __Definición:__ Sea `$S=\{u_1,\cdots,u_n\}$` un conjunto de vectores en `$V.$` El _espacio generado_ por `$S,$` denotado por `$\langle S\rangle,$` es el conjunto de todas las combinaciones lineales de `$u_1,\cdots,u_n.$` <br/><br/>Es decir, `$$\langle S\rangle=\{a_1u_1+\cdots+a_nu_n\mid a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{R}\}.$$` <br/><br/> A `$S$` se le conoce como conjunto generador.
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##### Ejemplo
 
El conjunto `$S=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$` es un conjunto generador de `$\mathbb{R}^3$` y `$S=\{(1,1),(1,-1)\}$` es un conjunto generador de `$\mathbb{R}^2.$`

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##### No Ejemplo

> Si consideramos el conjunto `$S=\{(1,2),(-2,-4)\}.$` Este conjunto no genera a `$\mathbb{R}^2.$` <br/><br/><br/><br/>

> El conjunto `$S=\{(1,2,3),(0,1,2),(-1,0,1)\},$` no genera a `$\mathbb{R}^3.$` Esto se debe a que el vector `$(1,-2,2)$` no es c.l. de `$S.$`

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## Subespacios Vectoriales Generados

> __Teorema:__ Sea `$S=\{u_1,\cdots,u_n\}$` un conjunto de vectores en `$V.$` Entonces `$\langle S\rangle$` es un subespacio vectorial de `$V$` y es el subespacio vectorial más chico que contiene a `$S.$`

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# Dependencia e Independencia lineales

> __Definición:__ Sea `$S=\{u_1,\cdots,u_n\}$` un conjunto de vectores en `$V.$` Decimos que `$S$` es _linealmente dependiente_ si existe una combinación lineal de `$u_1,\cdots,u_n$` que es igual al vector cero y al menos uno de los coeficientes de la combinación lineal es distinto de cero. <br/><br/>Si `$S$` no es linealmente dependiente, decimos que `$S$` es _linealmente independiente_.

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##### Ejemplo

El conjunto `$S=\{(1,1),(1,-1)\}$` es l.i. pero `$S=\{(1,2,3),(0,1,2),(-1,0,1)\}$` no lo es.

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## Dependencia e Independencia lineales

> __Teorema:__ Sea `$S=\{u_1,\cdots,u_n\}$` un conjunto de vectores en `$V.$` Entonces `$S$` es linealmente dependiente si y solo si al menos uno de los vectores en `$S$` es combinación lineal de los demás vectores en `$S.$`

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# Dimensión

> __Definición:__ Decimos que `$S$` es una base para el espacio vectorial `$V,$` si `$S$` es l.i. y además genera a `$V.$`

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##### Ejemplo

Por ejemplo, `$\{(0,1),(1,0)\},$` `$\{(1,1),(1,0)\}$` y `$\{(1,1),(-1,1)\}$` son bases de `$\mathbb{R}^2.$` Y `$\{(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1,)$` es base de `$\mathbb{R}^3.$`

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## Teoremas de bases.

> __Teorema:__ Si `$S$` es una base de `$V$` con `$n-$`elementos. Entonces todo subconjunto de vectores con `$n+1$` elementos es linealmente dependiente. <br/><br/>Además, si `$S$` es una base de `$V$` con `$n-$`elementos. Entonces todo subconjunto de vectores con `$n-1$` elementos no genera a `$V.$`

> __Definición:__ Si `$V$` tiene una base con `$n-$`elementos, entonces diremos que `$V$` tiene _dimensión_ `$n.$`

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# Actividad

1. Sea `$S=\{(1,1,1),(1,2,3),(1,3,6)\}.$` Pruebe que `$S$` es l.i. y que genera a `$\mathbb{R}^3.$`
1. Encuentra una base para la recta `$L=\{(x,3x)\in\mathbb{R}^2:x\in\mathbb{R}\}.$` ¿qué dimensión debería tener?
1. Encuentra una base para el plano `$P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\}.$` ¿qué dimensión debería tener?
1. Si `$S=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,a,1)\}$`, ¿qué valor debe tener `$a$` para que sea linealmente dependiente?