Ortogonalidad

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.title[
# Ortogonalidad
]
.subtitle[
## Sesión 03
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-12
]

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# Objetivos de la Sesión

* Introducir el concepto de producto interno. <br/><br/>
* Definir el ángulo entre dos vectores. <br/><br/>
* Introducir el concepto de ortogonalidad. <br/><br/>

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# Producto Interno

> __Definición:__ Sea `$V$` un espacio vectorial sobre `$\mathbb{R}$`, un producto interno en `$V$` es una función `$\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$` que satisface las siguientes propiedades para todo `$u, v, w \in V$` y `$c \in \mathbb{R}$`: <br/><br/>
  1. Conmutativo: `$\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$` <br/>
  1. Lineal en el primer argumento: `$\langle cu + w, v \rangle = c \langle u, v \rangle + \langle w, v \rangle$` <br/>
  1. Positivo definido: `$\langle u, u \rangle \geq 0$` y `$\langle u, u \rangle = 0$` si y solo si `$u = 0$` <br/><br/>
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## Ejemplos de Producto Interno

Sea `$V=\mathbb{R}^n$` y `$u, v \in \mathbb{R}^n$`, entonces el producto interno estándar en `$\mathbb{R}^n$` está dado por: <br/><br/> `$$\langle u, v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n = \sum_{i=1}^n u_iv_i$$`

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## Ejemplos de Producto Interno

Sea `$V=\mathbb{R}^2$` y `$u, v \in \mathbb{R}^2$`, entonces el producto interno estándar en `$\mathbb{R}^2$` está dado por: <br/><br/> `$$\langle u, v\rangle = u_1v_1 + 2u_2v_2$$`

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## No ejemplo de Producto Interno

Sea `$V=\mathbb{R}^2$` y `$u, v \in \mathbb{R}^2$`, entonces la función `$\langle u, v\rangle = u_1v_1 - u_2v_2$` no es un producto interno en `$\mathbb{R}^2$` porque no es definido positivo. <br/><br/> Por ejemplo, `$\langle (1,2), (1,2)\rangle < 0$`.

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# Proyecciones y Ortogonalidad

> __Definición:__ Sea `$V$` un espacio vectorial con producto interno, y `$u,v\in V$` dos vectores. Decimos que la proyección de `$u$` en `$v,$` denotado por `$\text{proj}_v(u),$` es el vector `$$\text{proj}_v(u)=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle} v.$$`

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##### Ejemplo
Sean `$(2,3)$` y `$(4,1)$` en `$\mathbb{R}^2$` con el producto estándar. Entonces, `$$\text{proj}_{(4,1)}(2,3)=\frac{\langle (2,3),(4,1)\rangle}{\langle (4,1),(4,1)\rangle} (4,1)=\frac{11}{17}(4,1).$$`

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## Ángulo entre dos vectores:

> __Definición:__ Sea `$V$` un espacio vectorial con producto interno, definimos el ángulo entre dos vectores `$u,v\in V$` como el ángulo `$\theta$` tal que `$$\cos(\theta)=\frac{\langle u,v\rangle}{\sqrt{\langle u,u\rangle \langle v,v\rangle}}.$$`

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##### Ejemplo

El ángulo entre `$(2,3)$` y `$(4,1)$` en `$\mathbb{R}^2$` con el producto estándar.

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`$$\cos(\theta)=\frac{\langle (2,3),(4,1)\rangle}{\sqrt{\langle(2,3),(2,3)\rangle\langle(4,1),(4,1)\rangle}}=\frac{11}{\sqrt{(13)(17)}}.$$` Por lo tanto, `$\theta=\cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{(13)(17)}}\right).$`

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## Ortogonalidad

> __Definición:__ Decimos que dos vectores `$u,v\in V$` son ortogonales si `$\langle u,v\rangle=0.$`

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##### Nota:

Si `$\langle u,v\rangle=0,$` entonces `$\cos(\theta)=0,$` por lo tanto, `$\theta=\pm k \frac{\pi}{2}$` con `$k$` entero impar.

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##### Ejemplo

> En `$\mathbb{R}^2,$` los vectores <br/><br/>
 * `$(0,1),(1,0),$` <br/><br/>
 * `$(1,1),(-1,1),$` <br/><br/>
 * `$(3,1), (1,-3)$` <br/><br/>
 son ortogonales.