Proceso de Gram-Schmidt

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Proceso de Gram-Schmidt
]
.subtitle[
## Sesión 04
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-12
]

---

<div>
<style type="text/css">.xaringan-extra-logo {
width: 110px;
height: 128px;
z-index: 0;
background-image: url(https://github.com/alxcn/TecLogoEIC/blob/9562a53875418e749a296c85808a19c85fc4be74/IngenieriaCiencias_Horizontal_RGB.png);
background-size: contain;
background-repeat: no-repeat;
position: absolute;
top:2em;right:2em;
}
</style>
<script>(function () {
  let tries = 0
  function addLogo () {
    if (typeof slideshow === 'undefined') {
      tries += 1
      if (tries < 10) {
        setTimeout(addLogo, 100)
      }
    } else {
      document.querySelectorAll('.remark-slide-content:not(.title-slide):not(.inverse):not(.hide_logo)')
        .forEach(function (slide) {
          const logo = document.createElement('div')
          logo.classList = 'xaringan-extra-logo'
          logo.href = null
          slide.appendChild(logo)
        })
    }
  }
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', addLogo)
})()</script>
</div>
# Objetivos de la Sesión

* Definir bases ortonormales. <br/><br/>
* Construir bases ortonormales. <br/><br/>

---
## Bases Ortogonales y Ortonormales

> __Definición:__ Sea `$S$` un subconjunto de `$V,$` decimos que `$S$` es ortogonal si para todo `$u,v\in S$` con `$u\neq v,$` tenemos que `$\langle u,v\rangle=0.$` <br/><br/> Decimos que `$S$` es ortonormal, si ademas de ser ortogonal, `$\langle u,u\rangle=1$` para todo `$u\in S.$`

--
##### Ejemplo

El conjunto `$S=\left\{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right),\left(-\frac{\sqrt{2}}{6},\frac{\sqrt{2}}{6},\frac{2\sqrt{2}}{3}\right),\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)\right\}$` es ortonormal.

---
## Bases Ortogonales y Ortonormales

> __Teorema:__ Sea `$V$` un espacio vectorial con producto interno, y `$S=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$` un conjunto ortogonal de vectores no nulos. Entonces `$S$` es linealmente independiente.

> __Corolario:__ Si `$V$` tiene dimensión `$n,$` entonces todo conjunto ortogonal de `$n$` vectores es base.
---
# Proceso de Gram-Schmidt

1. Sea `$S=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$` un conjunto de vectores linealmente independientes de `$V.$` <br/><br/>
2. Definimos `$u_1=v_1.$` <br/><br/>
3. Para `$k=2,3,\ldots,n,$` definimos `$u_k=v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}u_j.$` <br/><br/>
4. Definimos `$w_1=\frac{u_1}{\sqrt{\langle u_1,u_1\rangle}},$` y para `$k=2,3,\ldots,n,$` definimos `$w_k=\frac{u_k}{\sqrt{\langle u_k,u_k\rangle}}.$` <br/><br/>

---
##### Ejemplo:

Sea `$S=\{(1,1),(0,1)\}.$` Construya una base ortonormal a partir de `$S.$` <br/><br/>

--
##### Solución:
`$v_1=(1,1)$` y `$v_2=(0,1).$` Siguiendo el proceso de Gram-Schmidt, tenemos que `$u_1=v_1$` y `$$u_2=v_2-\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1=v_2-\frac{1}{2}v_1=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$$` <br/><br/> Por lo tanto, `$w_1=\frac{u_1}{\sqrt{\langle u_1,u_1\rangle}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$` y `$w_2=\frac{u_2}{\sqrt{\langle u_2,u_2\rangle}}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$` <br/><br/>

---
##### Ejemplo:

Sea `$S=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\}.$` Construya una base ortonormal a partir de `$S.$` <br/><br/>

---
##### Ejemplo:

Sea `$S=\{(1,1,0),(1,2,0),(0,1,2)\}.$` Construye una base ortonormal a partir de `$S.$`