Transformaciones Lineales

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# Transformaciones Lineales
]
.subtitle[
## Sesión 05
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-20
]

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# Objetivos de la Sesión

* Introducir el concepto de Transformación lineal. <br/><br/>
* Demostrar que una función es una transformación lineal. <br/><br/>
* Calcular los subespacios predilectos: Núcleo e Imagen. <br/><br/>
* Teorema de la Dimensión.

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# Transformaciones Lineales

> __Definición:__ Sean `$V$` y `$W$` espacios vectoriales. Una función `$T:V\rightarrow W$` se llama __transformación lineal__ si para todo `$u,v\in V$` y para todo escalar `$\alpha\in \mathbb{R}$` se cumple que: `$$T(u+v)=T(u)+T(v)$$` `$$T(\alpha u)=\alpha T(u).$$`

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<br/>
##### Ejemplo 1

La función `$T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$` definida por `$T(x,y)=(x+y,2x-y)$` es una transformación lineal, por que `$$T(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2+y_1+y_2,2(x_1+x_2)-(y_1+y_2))$$` `$$=(x_1+y_1,2x_1-y_1)+(x_2+y_2,2x_2-y_2)=T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)$$` y `$$T(\alpha x_1,\alpha y_1)=(\alpha x_1+\alpha y_1,2\alpha x_1-\alpha y_1)=\alpha(x_1+y_1,2x_1-y_1)=\alpha T(x_1,y_1).$$`

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##### Ejemplo 2
La función `$T:\mathbb{R}^3\rightarrow P_2$` definida por `$T(x,y,z)=x+yt+zt^2$` no es una transformación lineal, 
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<br/><br/><br/>
por que `$$T(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=x_1+x_2+(y_1+y_2)t+(z_1+z_2)t^2=(x_1+y_1t+z_2t^2)+(x_2+y_2t+z_2t^2)$$` `$$=T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2)$$` pero `$$T(\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1)=\alpha x_1+\alpha y_1t+\alpha z_1t^2= \alpha(x_1+y_1t+z_1t^2)=\alpha T(x_1,y_1,z_1).$$`

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##### Ejemplo 3

Prueben que la función `$T:P_3\to \mathbb{R}$`  dada por `$T(p)=p(0)$` es tranformación lineal.

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<br/><br/>
__Solución:__ Sean `$p,q\in P_3$` y `$\alpha\in \mathbb{R}$`, entonces $$T(p+q)=(p+q)(0)=(a_0+b_0+(a_1+b_1)(0)+(a_2
b_2)(0)^2=a_0+b_0=T(p)+T(q)$$ y `$$T(\alpha p)=(\alpha p)(0)=\alpha a_0+\alpha a_1(0)+\alpha a_2(0)=\alpha T(p).$$`

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## El Núcleo y el Rango

> __Definición:__ Sea `$T:V\to W$` una transformación lineal: <br/><br/>
  * __El núcleo:__ es el subespacio vectorial de `$V$` definido por todos los vectores que se anulan bajo `$T$` `$$N(T)=\{v\in V:T(v)=0\}.$$` <br/><br/>
  * __El rango:__ es el subespacio de `$W$` definido por todos los vectores de la forma `$T(v)$` para `$v\in V$` `$$R(T)=\{T(v):v\in V\}.$$`

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##### Ejemplo 4

Consideremos la transformación lineal `$T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$` definida por `$T(x,y)=(x+y,2x-y)$`. <br/><br/>

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* El núcleo de `$T$` es el conjunto de todos los vectores `$(x,y)$` tales que `$T(x,y)=(0,0)$`, es decir, `$x+y=0$` y `$2x-y=0$` `$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\ 2 & -1 & 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$$` por lo tanto, `$N(T)=\{(0,0)\}$` y `$\dim N(T)=0$`.

* Para encontrar el rango de `$T$` tomamos un vector genérico `$(u,v)$` de `$\mathbb{R}^2$` y resolvemos el sistema `$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & u\\ 2 & -1 & v\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & u\\ 0 & -3 & v-2u\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{v+2u}{3}\\ 0 & 1 & \frac{2u-v}{3}\end{array}\right)$$` por lo tanto, `$R(T)=\{(u,v)\in \mathbb{R}^2:u=\frac{y+2x}{3},v=\frac{2x-y}{3}\}$` y `$\dim R(T)=2$`.

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##### Ejemplo 5

Consideremos la transformación lineal `$D:P_2\to P_1$` definida por `$D(p)=p'$`. <br/><br/>

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* `$D(a_0+a_1x+a_2x^2)=a_1+2a_2x=0+0x$` si y solo si `$a_1=0$` y `$a_2=0$`, por lo tanto, `$N(D)=\{p\in P_2:a_1=a_2=0\}=\{a_1\}$` y `$\dim N(D)=1$`.

* Para encontrar el rango de `$D$` tomamos un vector genérico `$p=a_0+a_1x$` de `$P_1$` y calculamos `$$D(b_0+b_1x+b_2x^2)=b_1+2b_2x=a_0+a_1x$$`, por lo tanto: `$a_0=b_1$` y `$b_2=\frac{a_1}{2}$`, por lo tanto, `$R(D)=P_1$` y `$\dim R(D)=2$`.

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##### Ejemplo 6

Consideremos la transformación lineal `$T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$` definida por `$T(x,y)=A(x,y)$` donde `$$A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right).$$` <br/><br/>

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## Teorema de la Dimensión

> __Teorema:__ Sea `$T:V\to W$` una transformación lineal, entonces `$$\dim V=\dim N(T)+\dim R(T).$$`