Representación Matricial de Transformaciones Lineales

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# Representación Matricial de Transformaciones Lineales
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## Sesión 06
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-20
]

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# Objetivos de la Sesión

* Construiremos una matriz asociada a una transformación lineal. <br/><br/>

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# Matriz asociada a una transformación lineal

> __Definición:__ Sea `$T:V\to W$` una transformación lineal, `$B=\{v_1,\ldots,v_n\}$` una base de `$V$` y `$C=\{w_1,\ldots,w_m\}$` una base de `$W$`. La __matriz asociada__ a `$T$` con respecto a las bases `$B$` y `$C$` es la matriz `$A$` de `$m\times n$` definida por `$$[T]_B^C=[a_{ij}]_{m\times n}$$` donde `$T(v_j)=a_{1j}w_1+\cdots+a_{mj}w_m$` para `$j=1,\ldots,n$`.

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##### Ejemplo 1

> Sea `$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$` la transformación lineal definida por `$T(x,y)=(x+y,x-y,2x+3y)$`. Encuentre la matriz asociada a `$T$` con respecto a las bases canónicas de `$\mathbb{R}^2$` y `$\mathbb{R}^3$`.

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<br/><br/><br/>
Recordemos que la base canónica de `$\mathbb{R}^2$` es `$B=\{(1,0),(0,1)\}$` y la base canónica de `$\mathbb{R}^3$` es `$C=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$`. Por lo tanto, `$$T(1,0)=(1,1,2)=1(1,0,0)+1(0,1,0)+2(0,0,1)$$` y `$$T(0,1)=(1,-1,3)=1(1,0,0)-1(0,1,0)+3(0,0,1).$$` Por lo tanto, la matriz asociada a `$T$` con respecto a las bases `$B$` y `$C$` es `$$[T]_B^C=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\2&3\end{bmatrix}.$$`

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##### Ejemplo 2

> Sea `$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$` la transformación lineal definida por `$T(x,y)=(x-y,2x+3y)$`. Encuentre la matriz asociada a `$T$` con respecto las bases `$S_1=\{(0,1),(1,0)\}$` y `$S_2=\{(1,1),(1,-1)\}.$`

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<br/><br/><br/>
Notemos que `$T(1,0)=(1,2)=\frac{3}{2}(1,1)-\frac{1}{2}(1,-1)$` y `$T(0,1)=(-1,3)=1(1,1)-2(1,-1)$`. Por lo tanto, la matriz asociada a `$T$` con respecto a las bases `$S_1$` y `$S_2$` es `$$[T]_{S_1}^{S_2}=\begin{bmatrix}\frac{3}{2}&1\\-\frac{1}{2}&-2\end{bmatrix}.$$`

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##### Ejemplo 3

> Sea `$T:P_2\to P_3$` la transformación lineal definida por `$T(p(x))=xp(x)+p'(x)$`. Encuentre la matriz asociada a `$T$` con respecto a las bases canónicas de `$P_2$` y `$P_3$`.

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<br/><br/><br/>
Notemos que `$T(1)=x+1$` y `$T(x)=x^2+1$`. Por lo tanto, la matriz asociada a `$T$` con respecto a las bases canónicas de `$P_2$` y `$P_3$` es `$$[T]_B^C=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{bmatrix}.$$`