Vectores y Valores Propios

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# Vectores y Valores Propios
]
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## Sesión 07
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-27
]

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# Objetivos de la Sesión

* Definir los conceptos de vectores y valores propios. <br/><br/>
* Calcular vectores y valores propios. <br/><br/>

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# Motivación

Cosideremos la transformación `$T(x,y)=(x+y,x-y).$` Calculemos la matrix asociada a esta transformación lineal cuando la base es `$B=\{(1,0),(0,1)\}$` y cuando `$B'=\{(1-\sqrt{2},1),(1+\sqrt{2},1)\}$`. <br/><br/>

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##### Solución:

En el primer caso la matriz asociada es `$$T_B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)$$` y en el segundo caso la matriz asociada es `$$T_{B'}=\left(\begin{array}{cc} -\sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{array}\right)$$`

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# Motivación

A la matrix `$T_{B'}$` se le conoce como la _diagolinazación_ de la transformación `$T$`. <br/><br/>

¿Es posible encontrar una base `$B$` tal que la matriz asociada a `$T$` sea diagonal? <br/><br/> Suponiendo que esto es posible, necesitamos cumplir que `$$T_B(v_j)=\lambda_j v_j$$` para cada vector `$v_j$` de la base encontrada y donde `$\lambda_j$` es un real.

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# Vectores y valores propios

> __Definición:__ Dada una transformación lineal `$T:V\to W$`, un vector `$v\in V$` se llama __vector propio__ de `$T$` si `$v\neq 0$` y existe un escalar `$\lambda$` tal que `$T(v)=\lambda v$`. El escalar `$\lambda$` se llama __valor propio__ de `$T$` asociado al vector propio `$v$`.

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##### Ejemplo 1:

Sea `$T(x,y)=(2x,-y)$`, entonces `$T(1,0)=(2,0)$` y `$T(0,1)=(0,-1)$`. Por lo tanto, `$T$` tiene como vectores propios a `$(1,0)$` y `$(0,1)$` con valores propios `$\lambda_1=2$` y `$\lambda_2=-1$` respectivamente.

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##### Ejemplo 2:

Sea `$T(x,y)=(x+y,x-y)$`, afirmamos que `$v_1=(1-\sqrt{2},1)$` y `$v_2=(1+\sqrt{2},1)$` son vectores propios de `$T$` con valores propios `$\lambda_1=-\sqrt{2}$` y `$\lambda_2=\sqrt{2}$` respectivamente.

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##### Solución:

`$$T(1-\sqrt{2},1)=(1-\sqrt{2}+1, 1-\sqrt{2}-1)=(2-\sqrt{2},-\sqrt{2})=(-\sqrt{2})(1-\sqrt{2},1)$$`

`$$T(1+\sqrt{2},1)=(1+\sqrt{2}+1, 1+\sqrt{2}-1)=(2+\sqrt{2},\sqrt{2})=(\sqrt{2})(1+\sqrt{2},1)$$`

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## ¿Cómo calcular los vectores y valores propios?

Notemos que si `$v$` es un vector propio de `$T$` con valor propio `$\lambda$` y `$M$` es una matriz que representa a `$T$` entonces se debe cumplir que `$$Mv=\lambda v$$` y por lo tanto `$$(M-\lambda I)v=0$$` donde `$I$` es la matriz identidad y esto es para todo vector propio. <br/><br/> Por lo tanto, el sistema de ecuaciones debe tener soluciones infinitas y esto solo sucede si `$$\det(M-\lambda I)=0.$$`

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## Polinomio Característico

> __Definición:__ Dada una matriz `$M$` cuadrada, el _polinomio característico_ de `$M$` es el polinomio en variable `$\lambda$` que se obtiene de `$$\det(M-\lambda I).$$`

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<br/><br/>

> __Afirmación:__ Si `$\lambda_j$` es raíz del polinomio del característico de `$M$` entonces `$\lambda_j$` es un valor propio.

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##### Ejemplo 3:

> Calcule el polinomio característico y sus raíces de la transformación de `$T(x,y)=(3x-2y,x+2y)$`.

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<br/><br/>
##### Solución:

`$$\det\left(\begin{array}{cc} 3-\lambda & 2 \\ 1 & 2-\lambda \end{array}\right)=(3-\lambda)(2-\lambda)-4=\lambda^2-5\lambda+4$$`

y sus soluciones son: `$$\lambda_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4(4)}}{2}$$` donde `$$\lambda_1=\frac{5-\sqrt{9}}{2}\quad \lambda_2=\frac{5+\sqrt{9}}{2}$$`

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##### Ejemplo 4:

> Calcule el polinomio característico y sus raíces de la transformación de `$T(x,y,z)=(0,x+2y-7z,-2x-3y-2z)$`.

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<br/><br/>
##### Solución:
`$$\det\left(\begin{array}{ccc} 0-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & -7 \\ -2 & -3 & -2-\lambda \end{array}\right)$$`. <br/><br/> Resolviendo el determinante obtenemos el polinomio `$$\lambda^3-25\lambda$$` y sus raíces son `$$\lambda_1=0,\quad \lambda_2=5,\quad \lambda_3=-5$$`

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## Encontrar los vectores propios

> __Afirmación:__ Si `$\lambda_j$` es valor propio de la transformación `$T,$` entonces cualquier `$v$` que esté en el núcleo de `$T-\lambda_j I$` es un vector propio de `$T$` con valor propio `$\lambda_j$`.

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##### Ejemplo 5:

> Sabemos que `$1$` es valor propio de la transformación `$T(x,y)=(3x-2y,x+2y).$` Encuentre un vector propio asociado a este valor propio.

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##### Solución:

El kernel de la matriz `$T-1I$` es `$$\left(\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$$` y por lo tanto, el vector de la forma `$(1,-1)$` es un vector propio asociado a `$1.$`

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##### Ejemplo 6:

> Sabemos que `$5$` es valor propio de la transformación `$T(x,y,z)=(0,x+2y-7z,-2x-3y-2z).$` Encuentre un vector propio asociado a este valor propio.

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<br/><br/>
##### Solución:

El kernel de la matriz `$T-5I$` es `$$\left(\begin{array}{ccc} -5 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & -7 \\ -2 & -3 & -7 \end{array}\right)$$` y por lo tanto, el vector de la forma `$(0,7,3)$` es un vector propio asociado a `$5.$`