Diagonalización

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.title[
# Diagonalización
]
.subtitle[
## Sesión 08
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-08-27
]

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# Objetivos de la Sesión

* Matrices de cambio de base. <br/><br/>
* Diagonalización de transformaciones lineales. <br/><br/>

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# Matrices de cambio de base

> Supongamos que tenemos un espacio vectorial `$V$` y dos bases para `$V,$` digamos `$B_1$` y `$B_2.$` La matriz de cambio de base de `$B_1$` a `$B_2$` es la matriz `$P$` tal que `$[v]_{B_2}=P[v]_{B_1}$` para todo `$v\in V.$`

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##### Ejemplo

> Calcule la matriz de cambio de base de `$\mathbb{R}^2$` con las bases `$\{(1,0),(0,1)\}$` y `$\{(-3,2),(2,3)\}.$`

La matriz de cambio de base es `$$P=\left(\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right).$$`

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##### Ejemplo:

> Calcule la matriz de cambio de base de `$\mathbb{R}^2$` con las bases `$\{(1,2),(3,4)\}$` y `$\{(1,1),(1,-1)\}.$` <br/><br/>

--
<br/<br/>
Escribir la base `$\{(1,2),(3,4)\}$` en combinaciones lineales de `$\{(1,1),(1,-1)\}:$` 
<br/><br/>
`$$\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \end{array}\right)$$`

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##### Diagonalización de transformaciones lineales

> __Definición:__ Sea `$T:V\to V$` una transformación lineal. Decimos que `$T$` es diagonalizable si existe una base `$B$` de `$V$` tal que `$[T]_B$` es una matriz diagonal. <br/><br/>

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<br/><br/>

En el caso de matrices, una matriz `$A$` es diagonalizable si existe una matriz invertible `$P$` tal que `$P^{-1}AP$` es diagonal. Entonces, si los vectores propios de `$A$` forman una base, la matriz de cambio de base de la canónica al conjunto de vectores propios es la matriz que funciona para diagonalizar.

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##### Ejemplo

Encuentra la diagonalización de la transformación `$T(x,y)=(5x-12y,-12x-5y)$` y la matriz de cambio de bases para la diagonalización.

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<br/><br/>
##### Solución:

El polinomio característico de `$T$` es `$\lambda^2-169$` cuyas raíces son `$13$` y `$-13.$` Los vectores propios asociados son `$(-2,3)$` y `$(3,2).$` La matriz de cambio de base de estandar a los vectores propios es `$$P=\left(\begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 3 & 2 \end{array}\right).$$` Así que la diagonalización es `$$T=\left\{\left(\begin{array}{cc} 13 & 0 \\ 0 & -13 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 3 & 2 \end{array}\right)\right\}.$$`

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##### Ejemplo

Encuentra la diagonalización de la transformación `$T(x,y)=(7x-2y,2x+2y)$` y la matriz de cambio de bases para la diagonalización.

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<br/><br/>
##### Solución:

El polinomio característico de `$T$` es `$\lambda^2+9\lambda-18$` y sus raíces son `$3$` y `$6.$` Los vectores propios esta transformación son `$(1,2)$` y `$(2,1).$` La matriz de cambio de base canónica a la de los vectores propios es `$$P=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right).$$` Así que la diagonalización es `$$T=\left\{\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)\right\}.$$`