Ecuaciones Líneales de orden superior

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# Ecuaciones Líneales de orden superior
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## Sesión 03
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-04-10
]

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# Objetivos de la Sesión

* Conocer la forma genérica de una EDO lineal de orden superior. <br/><br/>
* Conocer la forma genérica de un problema de valor inicial con una EDO lineal de orden superior. <br/><br/>
* Aplicar el método de reducción de orden para EDOS lineales.

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# EDO lineal de orden superior.

> __Definción:__ La forma genérica de una EDO lineal de orden superior es: `$$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y+g(x)=0.$$`

Esta se convierte en un problema de valores iniciales cuando le agregamos las condiciones: `$$y(x_0)=y_0,\, y'(x_0)=y_1,\,y''(x_0)=y_2,\cdots,\,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$`

__Nota:__ necesitamos tantas condiciones como el orden de la EDO.

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# Existencia y unicidad

> __Teorema:__ Sean `$a_n(x), a_{n-1}(x),\cdots, a_0(x)$` y `$g(x)$` funciones continuas en un intervalo `$[a,b],$` con `$a_n(x)\neq 0.$` Si `$x=x_0\in [a,b],$` entonces una solución `$y(x)$` al PVI existe en `$[a,b]$` y es única.

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 #### Ejemplo:
 
`$$3y'''+5y''-y'+7y=0, \, y(1)=0,\, y'(1)=0,\, y''(1)=0$$` tiene como solución a la función `$y(x)=0$` y por el teorama esta es única.
 
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#### Ejemplo:

> Supongamos que tenemos la EDO `$$y''-4y-12x=0$$` con condiciones iniciales `$y(0)=4$` y `$y'(0)=1.$`

La función `$y=3e^{2x}+e^{-2x}-3x$` es una solución de este problema de valores iniciales.

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# EDO's Lineales Homomogéneas de Orden superior:

> __Definición:__ Un operador diferencial es una función lineal entre los espacios de funciones diferenciables (infinitamente), `$$\begin{array}{c} \frac{d}{dx}:\mathcal{C}^{\infty}([a,b])\to \mathcal{C}^{\infty}([a,b]) \\ f(x)\mapsto \frac{df}{dx}(x) \end{array}.$$`

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#### Ejemplo:

Una EDO Lineal es un operador diferencial lineal.
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## Principio de Superposición

> __Teorema:__ Si `$y_1,\cdots, y_k$` son soluciones de la EDO de orden `$n$` `$$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$$` en el intervalo `$I.$` Entonces la función `$$y(x)=c_1 y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_k y_k(x)$$` donde `$c_i$` son constantes arbitrarias también es una solución de la EDO en el intervalo `$I.$`

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#### Ejemplo:

> Las funciones `$y_1(x)=x^2$` y `$y_2(x)=x^2\ln(x)$` son soluciones de `$$x^3 y'''-2xy'+4y=0$$` en el intervalo `$(0,\infty).$`

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## Dependencia e Independencia Lineal

> __Definición:__ Un conjunto de funciones `$f_1(x),\, f_2(x),\,\cdots,\, f_n(x)$` se dice que es _linealmente dependiente_ en el intervalo `$I$` si existen constantes (diferentes de cero) tal que `$$c_1 f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_n f_n(x)=0.$$` De lo contrario, se dice que el conjunto es _linealmente independiente._ 
    
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#### Ejemplos:

1. El conjunto `$\{f_1(x)=\sqrt{x}+5,\, f_2(x)=\sqrt{x}+5x,\, f_3(x)=x-1,\, f_4(x)=x^2\}$` es linealmente dependiente, puesto que `$$0=-1 f_2(x)+1 f_1(x)+5 f_3(x)+0f_4(x)$$`

2. El conjunto `$\{f_1(x)=e^{3x},\,f_2(x)=e^{2x}\}$` es linealmente independiente.

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## Wronksiano y el Criterio de L.I.

> __Definición:__ Sea `$\{f_1(x), f_2(x),\cdots, f_n(x)\}$` un conjunto de funciones. El _wronksiano_ del conjunto es el determinante

`$$\det\left(\begin{array}{cccc} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f'_1 & f'_2 & \cdots & f'_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f^{(n-1)}_1 & f^{(n-1)}_2 & \cdots & f^{(n-1)}_n
\end{array}\right).$$`

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## Buscamos un conjunto solución LI.

__Teorema:__ Sea `$\{f_1(x), f_2(x),\cdots, f_n(x)\}$` un conjunto de funciones solución de una EDO en un intervalo `$I.$` El conjunto es linealmente independiente en `$I$` si el wronksiano es diferente de cero para toda `$x$` en el intervalo.

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# Reducción de Orden

> Si `$y_1\neq 0$` es una solución de `$$a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$$` en un intervalo `$I,$` supongamos que `$y_2(x)=u(x)y_1(x).$` Usaremos esta `$y_2(x)$` para encontrar una solución a la EDO.

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<br/><br/>
Sea `$y''-y=0$` con `$y_1(x)=e^x$` una solución en `$(-\infty,\infty).$` Encuentra `$y_2.$`

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## Caso General

`$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$` sabiendo que `$P(x), Q(x)$` son continuas en `$I.$` Con `$y_1(x)$` solución. Supongamos que `$y(x)=u(x)y_1(x).$`

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#### Ejemplo:

> Si la función `$y_1(x)=x^2$` of `$x^2y''-3xy'+4y=0.$` Encuentra la solución general para la EDO en el intervalo `$(0,\infty).$`