Coeficientes Constantes

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# Coeficientes Constantes
]
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## Sesión 04
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-04-07
]

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# Objetivos de la Sesión

* Deduciremos el polinomio auxiliar aun EDO lineal de coeficientes constantes. <br/><br/>
* Describiremos el tipo de función asociada a una raíz del polinomio auxiliar. <br/><br/>
* Demostraremos que el sistema de funciones raíz es un conjunto L.I.

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# EDO lineal de orden superior con coeficientes constantes.

> Consideremos la EDO `$$a_n y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_2 y''+a_1y'+a_0y=0,$$` donde `$a_j$` es una constante y `$a_n\neq 0.$` <br/><br/><br/>
Por ejemplo: `$$a_1 y'+a_0y=0\Leftrightarrow y'=\frac{-a_0}{a_1}y$$` cuya solución es `$y=ce^{-a_0x/a_1}.$` Si consideramos el polinomio `$$a_1\lambda+a_0=0$$` su solución es `$\lambda=-a_0/a_1.$`

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## Polinomio auxiliar

> Para la EDO `$$a_n y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_2 y''+a_1y'+a_0y=0,$$` diremos que `$$p(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_2 \lambda^2+a_1\lambda+a_0$$` se le conoce como el _polinomio auxiliar_ de la EDO. <br/><br/>

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## Funciones raíz

__Lemma:__ Si `$\lambda_i$` es una raíz del polinomio auxiliar `$p(x),$` entonces la función `$y(x)=e^{\lambda_i x}$` es una solución de la EDO lineal de coeficientes constantes.

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## Tipos de raíz-función

> Supongamos que `$\lambda$` es una raíz del polinomio auxiliar `$p(x)$` para una EDO lineal de coeficientes constantes. Entonces: <br/><br/>
  1. Si `$\lambda$` es real sin multiplicidad, entonces la función auxiliar es `$y_\lambda(x)=e^{\lambda x}.$`
  2. Si `$\lambda$` es complejo, entonces las funciones `$y_\lambda$` y `$y_{\overline{\lambda}}$` se cambian por `$$y_{r}=e^{Re(\lambda)}\cos(Im(\lambda)x)\quad \mbox{y}\quad y_{i}=e^{Re(\lambda)}\sin(Im(\lambda)x)$$`
  3. Si `$\lambda$` es real con multiplicidad `$k,$` entonces hay `$k$` funciones asociadas a `$\lambda$` y son `$$y_1=e^{\lambda x},\, y_2=xe^{\lambda x},\, y_3=x^2e^{\lambda x},\cdots, y_k=x^{k-1}e^{\lambda x}.$$`
  
  
__Teorema:__ La solución general de una EDO lineal con coeficientes constantes es la superposición de las funciones asociadas a las raíces.
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#### Ejemplo 1:

> Encuentre la solución general de `$$2y''-5y'-3y=0.$$`

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#### Ejemplo 2:

> Encuentre la solución general de `$$y'''-10y''+25y'=0.$$`

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#### Ejemplo 3:

> Encuentre la solución general de `$$y''+4y'+7y=0.$$`

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#### Ejemplo 4:

> Encuentre la solución general de `$$y^{(4)}+2y''+y=0.$$`