EDO Lineales de Orden Superior No homogéneas

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# EDO Lineales de Orden Superior No homogéneas
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## Sesión 05
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-04-16
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# Objetivos de la Sesión

* Aprender otras problematicas que modela una EDO lineal no homogénea de orden superior no lineal. <br/><br/>
* Resolver EDO lineales no homogéneas de orden superior. <br/><br/>
* Aprender el método de coeficientes indeterminados. <br/><br/>

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# EDO lineal de orden superior no homogénea

> Recordemos que una EDO lineal de orden superior no homogénea es de la forma `$$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_2y''+a_1y'+a_0y=g(x),$$` por el momento supondremos que nuestros coeficientes son constantes. <br/><br/><br/> 
En el caso de EDO líneales no homogéneas de primer orden, tenemos que la solución general se forma mediante `$$y_p+y_h.$$` <br/><br/> En el caso de orden superior no es la excepción.

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## Algunas consideraciones:

> Notemos que la función `$g(x)$` puede ser cualquier tipo de función, pero nos centraremos (restringiremos) a los siguientes tipos de funciones que puede aceptar `$g(x):$` <br/><br/>
  * Polinomios (dentro los cuales se encuentran las constantes) `$$g(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_nx^n.$$`
  * Exponenciales: `$$g(x)=e^{cx}$$`
  * Senos o Cosenos: `$$g(x)=\sin(cx)\mbox{ o } g(x)=\cos(cx).$$`
  * Combinaciones de estas (producto y/o sumas):
  
  __Ejemplos:__ `$g(x)=10,$` `$g(x)=15x-6+8e^{-x}$` o `$g(x)=xe^x \sin(x)+(3x^2-1)e^{-4x}.$`
  
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# Método de Coeficientes Indeterminados:

El método se aplica para EDOs lineales no homogeneas con:
* _coeficientes constantes,_
* `$g(x)$` como en la lista anterior.

La idea detrás del método:

" Las derivadas de funciones `$g(x)$` como en la lista anterior, de nuevo son funciones en la lista, es decir, son sumas y/o productos de polinomios, senos, cosenos y/o exponenciales"

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## Ejemplo 1:

> Encuentre la solución de la EDO `$$y''+4y'-2y=2x^2-3x+6.$$`

1. Primero resolvemos la versión homogénea de la EDO. `$$y_h=c_1e^{(-2-\sqrt{6})x}+c_2e^{(-2+\sqrt{6})x}.$$`

1. Cómo `$g(x)$` es un polinomio de grado dos, entonces la solución particular al menos podría ser un polinomio de grado dos (igual), supongamos que es `$$y_p=Ax^2+Bx+C.$$`

1. Sustituyendo `$y_p$` en la EDO lineal: `$y_p'=2Ax+B$` y `$y_p''=2A$` entonces `$$2A+8Ax+4B-2Ax^2-2Bx-2C=2x^2-3x+6.$$`

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## Ejemplo 1:

1. Por teoría de polinomios, los coeficientes deben ser iguales, es decir:
`$$-2A=2$$` `$$8A-2B=-3$$` `$$2A+4B-2C=6$$`

1. Resolvemos este sistema: <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

1. Entonces `$y_p=-x^2-\frac{5}{2}x-9.$`

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## Ejemplo 2:

> Encuentra la solución `$y''-y'+y=2\sin(3x).$`

Primero calculemos la solución particular. Cómo la `$g(x)=2\sin(3x)$` entonces la solución que debe cumplir derivadas entonces tenemos que pensar que esta solución debe contener senos y cosenos. Así:

`$$y_p=A\cos(3x)+B\sin(3x)$$`

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## Ejemplo 3:

> Encuentra la solución `$y''-2y'-3y=4x-5+6xe^{2x}.$`

En este caso la solución particular debe contener un polinomio y una exponencial. `$$y_p=Ax+B+Cxe^{2x}+Ee^{2x}.$$`

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## Un error en la matrix:

> Encuentra la solución de `$$y''-5y'+4y=8e^x.$$` Verifica con el método de coeficientes indeterminados. ¿Qué sucede? ¿La solución particular funciona? ¿Ahora intenta con la forma particulas `$y_p=A x e^x$`. ¿Por qué sucede esto?

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# ¿Cómo decidir que función modelo utilizar?

<div class="figure">
<img src="tablafuncionesmodelo.jpg" alt="Funciones Modelo" width="60%" />
<p class="caption">Funciones Modelo</p>
</div>

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# Actividad en Clase:

Encuentra la solución a las siguientes EDOs lineales de orden superior no homogéneas. <br/><br/>
 
* `$y''+3y'+2y=6$`

* `$y''-10y'+25y=30x+3$`

* `$\frac{1}{4}y''+y'+y=x^2-2x$`

* `$y''-8y'+20y=100x^2-26xe^x$`

* `$4y''-4y'-3y=\cos(2x)$`