Variación de Parametros II

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# Variación de Parametros II
]
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## Sesión 07
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-04-23
]

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# Objetivos de la Sesión

* Utilizar el Wronksiano para generar soluciones particulares. <br/><br/>
* Resolver la solución de una EDO lineal de orden 2 no homogéneas. <br/><br/>

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# Motivación del Método

> Recordemos que mi EDO es de la forma `$$a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)=g(x)$$` que podemos reescribir como `$$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x).$$` <br/><br/> Sabemos que la solución general debe estar formada por una parte homogénea y una particular, además la parte de la solución homogénea está formada por un conjunto l.i `$\{y_1(x),y_2(x)\}.$`

__Nuestra suposición fundamental:__ `$$y_p=u_1y_1+u_2y_2$$` donde `$u_i$` son funciones de `$x$` y son incógnitas.

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## Determinación del método:

> Si `$y_p=u_1y_1+u_2y_2$` es una solución a la EDO, entonces debe satisfacer la ecuación. Por lo que: `$$y_p''+Py_p'+Qy_p=f(x)$$` y de aquí podemos reescribirlo a `$$(y_1u_1'+y_2u_2')'+P(y_1u_1'+y_2u_2')+y_1'u_1'+y_2'u_2'=f(x),$$` de aquí podemos suponer que `$$\begin{array}{c} y_1u_1'+y_2u_2'=0\\ y_1'u_1'+y_2'u_2'=f(x)\end{array}.$$`

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## ¿Cómo resolvemos el sistema anterior?

`$$u_1'=\frac{W_1}{W}\quad\mbox{y}\quad u_2'=\frac{W_2}{W}$$` dónde `$$W=\left|\begin{array}{cc}  y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{array}\right|$$` `$$W_1= \left|\begin{array}{cc}  0 & y_2 \\ f(x) & y_2' \end{array}\right| \quad \mbox{y} \quad W_2=\left|\begin{array}{cc}  y_1 & 0 \\ y_1' & f(x) \end{array}\right|$$`

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### Ejemplo 1:

> Encuentra la solución particular de `$y''-4y'+4y=(x+1)e^{2x}.$`

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Las soluciones de la EDO homogénea es `$y_1(x)=e^{2x}$` y `$y_2(x)=xe^2x.$`

Entonces `$$u_1'=\frac{W_1}{W}=\frac{-(x+1)xe^{4x}}{e^{4x}}\quad\mbox{y}\quad u_2'=\frac{W_2}{W}=\frac{(x+1)e^{4x}}{e^{4x}}$$`

Por lo que `$u_1=\frac{-x^3}{3}-\frac{x^2}{2}$` y `$u_2=\frac{x^2}{2}+x.$` Y la solución particular es `$$y_p=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)e^{2x}+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)xe^{2x}=\frac{x^3}{6}e^{2x}+\frac{x^2}{2}e^{2x}.$$`

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### Ejemplo 2:

Encuentra la solución particular de la EDO `$$x^2y''-4xy'+6y=\frac{1}{x}.$$` Suponiendo que `$y_1=x^2$` y `$y_2=x^3.$`

`$$u_1'=\frac{W_1}{W}=\frac{-1}{x^4}\quad\mbox{y}\quad u_2'=\frac{W_2}{W}=\frac{x^{-1}}{x^4}$$` Por lo que `$$u_1=\frac{1}{3x^3}\quad\mbox{y}\quad u_2=\frac{-1}{4x^4}$$` `$$y_p=\frac{x^2}{3x^3}-\frac{x^3}{4x^4}=\frac{1}{12x}.$$`