Ecuación de Cauchy-Euler

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# Ecuación de Cauchy-Euler
]
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## Sesión 08
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-04-23
]

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# Objetivos de la Sesión

* Introduciremos la EDO de Cauchy-Euler. <br/><br/>
* Describiremos la solución de una EDO de Cauchy-Euler. <br/><br/>
* Describiremos los tipos de soluciones para el polinomio auxiliar.

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# La EDO de Cauchy-Euler

> Consideremos la EDO no lineal no homogénea `$$a_nx^n y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots a_1xy'+a_0y=g(x).$$`

<br/><br/>
Consideremos que nuestras soluciones van a estar definidas en el intervalo `$I=(0,\infty)$` y son de la forma `$y=x^m,$` esto es por que `$$y^{(k)}=(x^m)^{(k)}=m(m-1)(m-1)\cdots(m-k+1)x^{m-k}$$` por lo que cuando `$$a_kx^ky^{(k)}=a_k(m)(m-1)\cdots(m-k+1)x^m.$$`

Por lo que al final, todo queda en terminos de `$x^m.$`

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## La EDO de orden 2.

> Queremos resolver `$$ax^2y''+bxy'+ cx=0.$$` Suponiendo que `$y=x^m,$` entonces `$$am(m-1)x^m+bmx^m+cx^m=(am^2+(b-a)m+c)x^m$$`

<br/><br/>
Como `$x^m$` no es cero, entonces `$$am^2+(b-a)m+c=0$$` cuyas soluciones son: `$$m_{1,2}=\frac{(a-b)\pm \sqrt{(b-a)^2-4ac}}{2a}.$$`

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### Raíces distintas

> Si `$m_i$` son dos raíces reales distintas, entonces `$y_1=x^{m_1}$` y `$y_2=x^{m_2}$` es nuestro conjunto de soluciones, por lo que la solución general es: `$$y=c_1x^{m_1}+c_2x^{m_2}.$$`

#### Ejemplo 1:

> Encuentre la solución general de  `$x^2y''-2xy'-4y=0.$`

<br/><br/>
Mi poliniomio auxiliar es `$$m^2-3m-4=0$$` cuyas soluciones son `$m=-1$` y `$m=4,$` por lo que la solución general `$$y=c_1x^{-1}+c_2x^4.$$`

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### Raíces repétidas

> Si mi polinomio auxiliar tiene solución `$m=\frac{a-b}{2a},$` y una solución es `$y=x^m.$` Para encontrar la otra solución usaremos reducción de orden. Obteniendo que `$$y_2=x^m\ln(x).$$` <br/><br/> Por lo que la solución general es `$$y=c_1x^m+c_2x^m\ln(x).$$`

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#### Ejemplo 2:

> Encuentre la solución de `$4x^2y''+8xy'+y=0,$`

--
<br/><br/>

cuya polinomio auxliar es `$$4m^2+4m+1=0$$` y sus solución es `$m=\frac{-1}{2}.$` Así que la solución general es: `$$y=c_1x^{-1/2}+c_2x^{-1/2}\ln(x).$$`

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### Raíces conjugadas

> Suponiendo que mi polinomio tiene raíces complejas conjugadas: `$m=a+ib$` con `$b>0.$` Entonces la solución es `$$y=x^m=x^{a+ib}$$` pero tenemos que reescribir la parte compleja de esta función `$$x^{ib}=(e^{\ln x})^{ib}=cos(b\ln x)+i\sin(b\ln x)$$` por lo que la solución general es: `$$y=x^a(c_1\cos (b\ln x)+c_2\sin(b\ln x)).$$`

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#### Ejemplo 3:

> Encuentra la solución a `$4x^2y''+17y=0.$`

<br/><br/> El polinomio auxiliar es `$4m^2-4m+17=0$` cuyas raíces son `$m=\frac{1}{2}\pm 2i.$` Por lo que la solución general es `$$y=x^{1/2}(c_1\cos(2\ln x)+c_2\sin(2\ln x)).$$`