Propiedades Topológicas

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# Propiedades Topológicas
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## Sesión 02
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-01-18
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# Objetivos de la Sesión

* Introducir los conceptos de Cerrado, Conexo, Arco-conexo y Compacidad. 
* Mostrar ejemplos de los conceptos anteriores. 
* Relacionarlos con la topología.

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# ¿Qué información puedo recuperar del espacio conociendo solamente su topología?

> A las propiedades del espacio que dependen de la topología se le conocen como intrínsecas, debido a que la topología solo depende de subconjuntos. Y, en ciertos, cuando son invariantes bajo transformaciones nos dan información más detallada del espacio. Podemos conocer si el espacio es: 
 * Compacto o No-compacto. 
 * Conexo o disconexo. 
 * El género. 
 * El número de puntas. 
 * Si cuenta con exterior-interior o no. 
 * Si admite estructuras geométricas.
 
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# Abiertos y Cerrados

> __Definición:__ Sea `$(X,\tau)$` un espacio topológico. Si `$A\subset X$` es tal que `$A\in \tau$` entonces decimos que `$A$` es un abierto de `$X.$` Más aún, para todo elemento `$x\in A$` decimos que `$A$` es una vecindad de `$x.$` 
Decimos que `$A$` es un cerrado de `$X$` si el conjunto `$X\setminus A\in \tau.$`

##### Ejemplo:

Supongamos que `$X=\{a,b,c,d\}$` y `$\tau=\{\varnothing,\{c\}, \{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\}\},$` entonces los conjuntos `$\{d\}, \{a,b\}$` y `$\{a,b,c,d\}$` son cerrados.

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## Propiedades de Cerrados

> __Lema:__ En un espacio topológico `$X$` (no importa cual topología tomemos) el vacío ($\varnothing$) y el total ($X$) son conjuntos cerrados y abiertos a la vez.

##### Ejemplo:

Consideremos nuestro grafo `$\Gamma=(V,E)$` donde `$V=\{a,b,c,d\}$` y `$E=\{(a,d),(b,d),(c,d)\}.$` Pruebe que `$\{a,d,(a,d)\}$` es cerrado de `$\Gamma$` si la consideremos con la topología `$2^{\tau_1\cup \tau_2}$` donde:
  * `$\tau_1=\{\{(a,d)\},\{(b,d)\},\{(c,d)\}\}$`
  * `$\tau_2=\{\{(a,d),a\},\{(b,d),b\},\{(c,d),c\},\{(a,d),(b,d),(c,d),d\}\}.$`

¿Qué propiedad tiene el conjunto `$\{d,(a,d)\}$`?

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# Conexidad

> __Definición:__ Un espacio topológico `$(X,\tau)$` es __disconexo__ si _existen_ dos abiertos disjuntos no-vacios `$U,V\in \tau$` tal que `$$X=U\cup V.$$` De lo contrario, se dice que `$X$` es __conexo.__

##### Ejemplos

* El espacio `$(X_1,\tau_1)$` con `$X_1=\{1,5,7\}$` y `$\tau_1=\{\varnothing,\{1\},\{5\},\{1,5,7\}\},$` es conexo.
 
* El espacio `$(X_2,\tau_2)$` con `$X_2=\{a,b,c,d\}$` y `$\tau_=\{\varnothing,\{c\}, \{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\}\},$` `$X_2$` es disconexo.

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## Conexidad de Subespacios

> La propiedad de conexidad se puede definir para subespacios topológicos.

##### Ejemplo:

* En `$(X_2,\tau_2)$` el subespacio `$\{a,b\}$` es conexo en `$X_2.$`

* En `$(X_1,\tau_1)$` el subespacio `$\{1,5\}$` es disconexo.

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## Conexidad en Grafos

> __Definición:__ Un grafo `$\Gamma=(E,V)$` se dice que es __arco-conexo__ si existe un camino de aristas que conecten cualquier par de puntos.

#### Ejemplos:

> __Teorema:__ un grafo con su topología de grafo, es conexo si y sólo si es arco-conexo.

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## Componentes Conexas

> __Definición:__ Sea `$(X,\tau)$` un espacio topológico, un subespacio de `$U$` de `$X$` se dice que es una componente conexa de `$X,$` si satisface:
  * Es conexo en `$(X,\tau).$`
  * Si existe `$V\subset X$` conexo, entonces `$U=V.$`

#### Ejemplo:

Sea `$X=\{1,2,3,4\}$` y `$\tau=\{\varnothing,\{1,2\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\}.$` Las componentes conexas de `$X$` son `$\{1,2\}$` y `$\{3,4\}.$` 
Pero si consideramos a `$X$` con la topología `$$\tilde{\tau}=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{2,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$` las componentes conexas son `$\{1\},\{2\},\{3\}$` y `$\{4\}.$`
 
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# Compacidad

> __Definición:__ Sea `$(X,\tau)$` un espacio topológico decimos que `$X$` es __compacto__ si para cualquier cubierta de abiertos de `$X,$` es decir, colección de elementos de `$\tau$` que cumplan `$$X\subset \bigcup U_\alpha,$$` se tiene que existe una sub-colección _finita_ que sigue siendo cubierta.

#### Ejemplo:

* Cualquier espacio topológico finito (una colección finita de puntos) es compacto para cualquier topología.

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* Consideremos el _Conjunto de Cantor_ con la topología subespacio de `$\mathbb{R}.$` Este es un conjunto compacto pero con una infinidad de puntos en el.

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#### Ejercicios:

* Proporcione un ejemplo de un espacio cuya topología tenga más de dos conjuntos y que sean a la vez abiertos y cerrados.

* Con el ejercicio anterior, ¿cuál es la relación entre conexidad y espacios abierto-cerrados?

* Realice una representación gráfica del grafo `$$(V,E)=\{a,b,c,d,e,(a,a),(a,e),(e,e) (b,c),(c,d),(d,b)\}$$` ¿qué propiedades topológicas puedes decir de este grafo?

* Investiga la representación gráfica del grafo `$K_6,$` ¿Qué propiedades topológicas puedes decir de este grafo?