Espacios Métricos

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# Espacios Métricos
]
.subtitle[
## Sesión 03
]
.author[
### Alejandro Ucan
]
.date[
### 2023-01-18
]

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# Objetivos de la Sesión

* Introduciremos el concepto de Espacio Métrico. <br/><br/>
* Presentaremos ejemplos de Espacios Métricos. <br/><br/>
* `$\mathbb{R}^n$` como espacio métrico. <br/><br/>

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# Espacios Métricos

> __Definición:__ Un espacio métrico es un par formado por un conjunto (no vacío) `$X$` y una función `$d:X\times X\to \mathbb{R}$` conocida como métrica que cumple las siguientes propiedades:
  * `$d(p,q)=0$` si y sólo si `$p=q.$`
  * `$d(p,q)=d(q,p).$`
  * `$d(p,q)\leq d(p,r)+d(r,p).$`
  
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#### Ejemplo:

* Un ejemplo bien conocido de espacio métrico es `$\mathbb{R}$` con la función dada por `$$d(x,y)=|x-y|.$$` Y podemos generalizarlo a `$\mathbb{R}^n,\,\mathbb{C}^n$` con sus respectivas distancias asociadas a la norma.

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#### Ejemplo:

* Sea `$X$` un conjunto y `$d:X\times X\to \mathbb\{R\}$` dada por `$$d(x,y)=\delta_{xy}$$` entonces `$X$` es un espacio métrico y a `$d$` se le conoce como la métrica discreta.

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<br/><br/>

* Sea `$\Gamma=(E,V)$` un grafo y `$d_\Gamma:E\times E\to \mathbb{R}$` la función dada por el número de aristas en la trayectoria más corta entre dos puntos. Entonces `$(\Gamma,d_\Gamma)$` es un espacio métrico.

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## Métrica y Topología.

> __Definición:__ Dado un espacio métrico `$(X,d)$` y la colección de todas las bolas `$$B_d(x,r)=\{y\in X: d(x,y)<r\}$$` y sus uniones, forman una topología en `$X.$` A la métrica anterior se le conoce como __topología métrica.__

<br/><br/>
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#### Ejemplo:

Recordemos el grafo `$\Gamma=(V,E)$` donde `$V=\{a,b,c,d\}$` y `$E=\{(a,d),(b,d),(c,d)\}.$` Pruebe que `$\{a,d,(a,d)\}$` es cerrado de `$\Gamma$` si la consideremos con la topología `$2^{\tau_1\cup \tau_2}$` donde:
  * `$\tau_1=\{\{(a,d)\},\{(b,d)\},\{(c,d)\}\}$`
  * `$\tau_2=\{\{(a,d),a\},\{(b,d),b\},\{(c,d),c\},\{(a,d),(b,d),(c,d),d\}\}.$` Notemos que los conjuntos en `$\tau_1$` y `$\tau_2$` son bolas de la distancia de trayectorias.
  
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# Métricas de `$\mathbb{R}^n$`

> Recordemos que `$\mathbb{R}^n$` es el conjunto de `$n-$`adas de números reales, es decir, `$$(x_1,x_2,\cdots, x_n),\mbox{ con } x_i\in \mathbb{R}.$$` <br/><br/>
Sabemos que este es un espacio métrico, pero `$\mathbb{R}^n$` admite muchas métricas (distancias) que modifican su geometría.

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#### Ejemplo

* __Métrica Estándar:__ `$d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{j=1}^n (x_j-y_j)^2}.$`

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* __Métrica `$\ell_\infty$`:__ `$d_\infty (x,y)=max_{j=1,\cdots,n}\left\{|x_j-y_j|\right\}.$`

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* __Métrica `$\ell_1$`:__
`$d_1(x,y)= \sum_{j=1}^n |x_j-y_j|.$`

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#### Bolas en `$\mathbb{R}^n$`

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## Topología  métrica en `$\mathbb{R}^n.$`

Supongamos que `$\mathbb{R}^n$` está equipado con una métrica cualquiera `$d.$`

> __Definición:__ Sea `$U\subset\mathbb{R}^n,$` entonces decimos que `$U$` es un abierto (o elemento de la topología) si para todo punto `$x\in U$` existe una bola de radio `$r$` centrada en `$x$` contenida en `$U,$` es decir, `$$B_d(x,r)\subset U.$$`
<br/><br/>
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__Definición:__ Sea `$U\subset\mathbb{R}^n$` decimos que `$x$` es un punto frontera de `$U,$` si para cualquier bola centrada en `$x$` contiene puntos de `$U$` y de `$X\setminus U.$` Al conjunto de todos los puntos frontera de `$U$` se le conoce como frontera.
<br/><br/>
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__Definición:__ Sea `$U\subset\mathbb{R}^n$` decimos que es un cerrado, si `$U$` contiene a todos sus puntos frontera.

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## Conexidad en `$\mathbb{R}^n.$`

> __Definición:__ Sea `$X\subset \mathbb{R}^n,$` decimos que `$X$` es __arco-conexo__ si para cualquier par de puntos en `$X,$` existe un arco ó trayectoria que los una, es decir, una función continua `$f:[0,1]\to X.$`

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<br/><br/>
__Teorema:__ En `$\mathbb{R}^n,$` si un subespacio `$X$` es arco-conexo, entonces `$X$` es conexo.

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<br/><br/>

__Teorema:__ Si `$a<b,$` entonces `$[a,b]$` es conexo en `$\mathbb{R}$` con la topología estándar.

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## Compacidad en `$\mathbb{R}^n.$`

> __Definición:__ Sea `$X\subset \mathbb{R}^n,$` decimos que el __díametro__ de `$X$` es el número `$$\sup_{x,y\in X} d(x,y)$$` que puede puede ser finito o `$\infty,$` y se denota por `$\mbox{diam}(X).$` 
<br/><br/>
Cuando `$\mbox{diam}(X)<\infty$` entonces decimos que `$X$` es __acotado.__

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__Teorema:__ En `$\mathbb{R}^n,$` `$X$` es cerrado y acotado si y sólo si `$X$` es compacto.